Beequation
Impara › Argomenti › Addizioni e sottrazioni
Guida all'argomento
Addizioni e sottrazioni
Addizionare vuol dire mettere insieme delle quantità per sapere quante sono in tutto. Sottrarre vuol dire togliere una quantità da un'altra, oppure confrontare due quantità per scoprire quanto una supera l'altra. Sono due facce della stessa medaglia: se 7 + 5 = 12, allora 12 − 5 = 7. Alla scuola primaria (le elementari) si imparano insieme: prima con gli oggetti e i disegni, poi con il calcolo mentale e infine con le operazioni in colonna, quelle «con il riporto» e «con il prestito».
In classe tuo figlio o tua figlia sentirà questi nomi: nell'addizione i numeri da sommare sono gli addendi e il risultato è la somma (o il totale). In 12 − 5 = 7 il 12 è il minuendo, il 5 il sottraendo e il 7 la differenza.
Che cosa si impara, classe per classe
Le Indicazioni nazionali fissano gli obiettivi solo per la fine della terza e della quinta: entro la terza i bambini devono saper eseguire le operazioni con i numeri naturali «con gli algoritmi scritti usuali» (cioè in colonna) e fare semplici addizioni e sottrazioni con i numeri decimali, «anche con riferimento alle monete». Il percorso anno per anno lo decidono la scuola e il libro di testo: la tabella racconta che cosa succede di solito.
| Classe | Che cosa si fa di solito |
|---|---|
| Infanzia, 5 anni | Aggiungere e togliere con oggetti, dita e disegni, di solito entro il 10. Confrontare: «di più», «di meno», «tanti quanti». Le operazioni scritte arrivano più avanti. |
| Classe prima | I numeri fino a 20 e i segni +, − e =. Gli amici del 10, i doppi, le addizioni e le sottrazioni entro il 20 sulla linea dei numeri. I primi problemi, raccontati e disegnati. |
| Classe seconda | I numeri fino a 100 e il calcolo a mente con le decine (30 + 70 = 100). Le addizioni in colonna con il riporto e le sottrazioni con il prestito (o il cambio), con la prova. Problemi con dati, domanda, operazione e risposta. A maggio, la prova INVALSI di matematica. |
| Classe terza | I numeri fino a 1000 (spesso fino a 9999) e le operazioni in colonna con più cifre, anche con gli zeri. Le proprietà commutativa, associativa e invariantiva. Stimare il risultato. Le prime addizioni e sottrazioni con i decimali, usando euro e centesimi. |
| Classe quarta | I numeri fino a 999.999. Addizioni e sottrazioni con i decimali fino ai millesimi, «virgola sotto virgola». Problemi di compravendita (spesa, ricavo, guadagno) e problemi con più domande. |
| Classe quinta | Milioni e miliardi. Eseguire le operazioni «con sicurezza», scegliendo tra calcolo mentale, scritto o con la calcolatrice. I numeri negativi, per esempio con le temperature sotto zero. Le espressioni con le parentesi. A maggio, le prove INVALSI. |
Le idee chiave
1. Gli amici del 10 sono la base
Gli amici del 10 (le «coppie che fanno 10») sono solo sei: 0 + 10, 1 + 9, 2 + 8, 3 + 7, 4 + 6 e 5 + 5. Chi li sa a memoria li usa ovunque: se 6 + 4 = 10, allora 16 + 4 = 20 e 60 + 40 = 100. Da lì si passa agli amici del 20 (13 + 7) e agli amici del 100 (35 + 65). L'altro pilastro sono i doppi: 6 + 6 = 12, 7 + 7 = 14. Trovi altre idee nella nostra guida agli amici del 10 e del 20.
2. Addizione e sottrazione sono operazioni inverse
La sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione. Con gli stessi tre numeri si scrivono quattro operazioni: 7 + 5 = 12, 5 + 7 = 12, 12 − 5 = 7 e 12 − 7 = 5. Su questo si basa la prova della sottrazione: la differenza più il sottraendo dà il minuendo. Se 62 − 38 = 24, allora 24 + 38 = 62.
I libri italiani dedicano molto spazio alle proprietà delle operazioni, che servono davvero a fare i conti più in fretta:
- Proprietà commutativa (addizione): l'ordine degli addendi non cambia la somma. 3 + 9 = 9 + 3, quindi conviene partire dal numero più grande e contare in avanti.
- Proprietà associativa (addizione): si possono raggruppare gli addendi come fa più comodo. 7 + 8 + 2 = 7 + (8 + 2) = 7 + 10 = 17.
- Proprietà invariantiva (sottrazione): se aggiungi o togli lo stesso numero a minuendo e sottraendo, la differenza non cambia. 52 − 18 = 54 − 20 = 34.
La sottrazione, invece, non è commutativa: 9 − 3 non è la stessa cosa di 3 − 9.
3. Prima il calcolo mentale
Prima delle operazioni in colonna, i bambini imparano a calcolare a mente. La strada migliore dipende dai numeri:
- Scomporre: separare decine e unità. 34 + 25 = 30 + 20 + 4 + 5 = 59.
- Passare per il 10: prima si arriva alla decina, poi si aggiunge il resto. 8 + 5 = 8 + 2 + 3 = 13.
- Quasi doppi: 6 + 7 è il doppio di 6 più 1, cioè 13.
- Arrotondare e compensare: per aggiungere 9 si aggiunge 10 e si toglie 1. 46 + 9 = 56 − 1 = 55.
Per la sottrazione, la linea dei numeri mostra due strade: contare all'indietro dal numero più grande (togliere) oppure contare in avanti dal più piccolo fino al più grande (trovare la differenza). Contare in avanti è spesso più veloce quando i numeri sono vicini, come in 62 − 38 o in 1003 − 996.
In alcune classi si usa la «linea del 20» del metodo analogico di Camillo Bortolato, per vedere le quantità a colpo d'occhio invece di contarle una per una. Altri trucchi nelle nostre strategie di calcolo mentale e nella guida al calcolo mentale.
4. L'addizione in colonna con il riporto
Per «mettere in colonna» bisogna incolonnare bene: unità sotto unità, decine sotto decine, centinaia sotto centinaia. Sul quaderno a quadretti si scrive una cifra per quadretto, sotto le lettere h da u (centinaia, decine, unità), e si parte sempre dalle unità, a destra.
Detta ad alta voce, suona così: «7 più 5 fa 12: scrivo 2 e riporto 1. 4 più 8 fa 12, più 1 di riporto 13: scrivo 3 e riporto 1. 3 più 2 fa 5, più 1, 6». Risultato: 632. Quell'1 è il riporto: dieci unità che diventano una decina, o dieci decine che diventano un centinaio. Per la prova si può rifare l'addizione cambiando l'ordine degli addendi (285 + 347 dà sempre 632) oppure fare la sottrazione: 632 − 285 = 347.
5. La sottrazione in colonna con il prestito (o il cambio)
Quando la cifra di sopra è più piccola di quella di sotto, non si può togliere: allora si prende una decina dalla colonna accanto, sempre nel minuendo. In 532 − 178, al 2 non si può togliere 8: si chiede in prestito una decina al 3, che si cancella e diventa 2, e accanto al 2 delle unità si scrive un 1 piccolo, così diventa 12.
Ad alta voce: «2 meno 8 non si può: chiedo in prestito una decina al 3, che diventa 2; 12 meno 8 fa 4. 2 meno 7 non si può: chiedo in prestito un centinaio al 5, che diventa 4; 12 meno 7 fa 5. 4 meno 1 fa 3». Risultato: 354. E la prova: differenza più sottraendo, 354 + 178 = 532, che è proprio il minuendo.
Molte maestre oggi preferiscono dire cambio invece di prestito («cambio 1 decina con 10 unità»), perché quella decina non si restituisce: il numero resta lo stesso, solo scritto in un altro modo (532 è anche 4 centinaia, 12 decine e 12 unità). Il metodo è identico e si usa in quasi tutte le scuole italiane; conta soltanto usare a casa la stessa parola che usa la maestra.
6. Con i numeri decimali: virgola sotto virgola
Dalla terza, euro e centesimi portano in classe i primi numeri decimali, e in quarta si arriva ai millesimi. La regola d'oro è incolonnare virgola sotto virgola: centesimi sotto centesimi, decimi sotto decimi, unità sotto unità. Poi si calcola come con i numeri naturali e nel risultato la virgola resta allo stesso posto.
In cartoleria un quaderno costa 1,80 € e una penna 1,45 €: 1,80 + 1,45 = 3,25 € («0 più 5 fa 5; 8 più 4 fa 12: scrivo 2 e riporto 1; 1 più 1 fa 2, più 1 di riporto, 3»). Se paghi con 5 €, il resto è 5,00 − 3,25 = 1,75 €. Se un numero ha meno cifre dopo la virgola si aggiungono degli zeri, che non ne cambiano il valore: 5 € diventa 5,00. Più esempi nelle guide ai numeri decimali e all'euro.
Prima di ogni operazione in colonna, chiedi a tuo figlio più o meno quanto verrà. Per 347 + 285, arrotondando a 350 + 290 si ottiene circa 640: 632 è un risultato credibile, 522 è decisamente troppo poco. E fatti mostrare come fanno i conti in classe: ogni maestra scrive riporti e prestiti a modo suo, e per il bambino è un sollievo ritrovare a casa le stesse parole e lo stesso ordine.
Errori frequenti
- Togliere sempre la cifra più piccola dalla più grande: in 532 − 178 viene 446, perché togliere 2 da 8 sembra più comodo che chiedere un prestito. In ogni colonna si toglie sempre la cifra di sotto da quella di sopra.
- Dimenticare il riporto: in 347 + 285 viene 522, perché i riporti non sono stati sommati.
- Incolonnare male: se 245 + 32 si allinea a sinistra, con il 3 sotto il 2, viene 565 invece di 277.
- Dimenticare di cancellare dopo il prestito: in 52 − 18, dopo 12 − 8 = 4, il bambino continua a usare il 5 invece del 4 e scrive 44 invece di 34.
- Le sottrazioni con lo zero: in 400 − 128 non ci sono decine da cui prendere. Si cambia un centinaio in 10 decine e poi una decina in 10 unità: 400 diventa 3 centinaia, 9 decine e 10 unità. Risultato: 272.
- Decimali incolonnati a destra: in 3,5 + 1,25 i decimi del primo numero finiscono sotto i centesimi del secondo. Virgola sotto virgola: 3,50 + 1,25 = 4,75.
- Contare anche il numero di partenza: per 7 + 2 dire «7, 8» sulle dita e rispondere 8. Si parte dal 7 e si contano i salti: «8, 9».
Giochi da cinque minuti da fare a casa
- Fai 10 con le carte. Con un mazzo di carte napoletane o piacentine, togli i re e metti le altre carte scoperte sul tavolo (asso 1, fante 8, cavallo 9). A turno, ognuno cerca due carte che fanno 10 e se le prende. Poi si passa a una partita a scopa: per prendere bisogna fare le somme (con un 7 si prendono un 4 e un 3).
- Ping-pong degli amici. Tu dici 7 e il bambino risponde 3, il suo amico del 10. Con i più grandi si gioca agli amici del 20 o del 100: tu dici 35, lui risponde 65.
- Corsa a 100. Si lanciano due dadi e si somma quello che esce al totale. Vince chi arriva prima a 100. Per le sottrazioni si parte da 100 e si scende fino a 0.
- Il resto giusto. Gioca al negozio con monete vere, oppure approfitta della spesa al forno: «La focaccia costa 2,30 € e pago con 5 €. Quanto mi danno di resto?» (2,70 €: si conta in avanti da 2,30 a 3 e poi da 3 a 5).
- Le targhe. In macchina, sfida tuo figlio a sommare le tre cifre delle targhe. Chi trova una targa che fa 10? E una che fa 20?
La sfida di IndieL'ape Indie ha visitato 456 fiori la mattina e 278 il pomeriggio. Quanti fiori ha visitato in tutto? Quanti fiori in più ha visitato la mattina? Mostra la risposta
In tutto: 456 + 278 = 734 («6 più 8 fa 14: scrivo 4 e riporto 1. 5 più 7 fa 12, più 1 di riporto 13: scrivo 3 e riporto 1. 4 più 2 fa 6, più 1, 7»). Quanti in più: 456 − 278 = 178. In colonna: 6 meno 8 non si può, prestito, 16 meno 8 fa 8; 4 meno 7 non si può, prestito, 14 meno 7 fa 7; 3 meno 2 fa 1. Oppure contando in avanti da 278: 22 per arrivare a 300 e altri 156 per arrivare a 456, e 22 + 156 = 178. Prova: 178 + 278 = 456.
Schede gratuite di addizioni e sottrazioni
Stampale per fare esercizio a casa o in classe. Ogni scheda ha le soluzioni nella seconda pagina.
Gli amici del 10Infanzia, 5 anni, Classe prima · Le coppie di numeri che fanno 10Scarica il PDF
Gli amici del 20Classe prima, Classe seconda · Le coppie di numeri che fanno 20Scarica il PDF
Addizioni e sottrazioni entro il 20Classe prima, Classe seconda · Operazioni miste entro il 20Scarica il PDF
Addizioni in colonnaClasse seconda, Classe terza · Numeri di tre cifre, con il riportoScarica il PDF
Sottrazioni in colonnaClasse seconda, Classe terza · Numeri di tre cifre, con il prestitoScarica il PDFRisposte veloci
Nell'addizione in colonna, quando una colonna dà 10 o più, si scrivono le unità e la decina passa alla colonna di sinistra, scritta piccola in alto: in 7 + 5 = 12 «scrivo 2 e riporto 1». Quell'1 vale una decina (o un centinaio, se arriva dalle decine).
Nessuna: sono due nomi dello stesso metodo. «Cambio» piace a molte maestre perché spiega meglio che cosa succede: una decina diventa 10 unità, e il numero resta lo stesso (2 decine e 12 unità fanno sempre 32). Usa la parola che usano in classe.
Di solito in seconda, con i numeri fino a 100, prima senza e poi con il riporto e il prestito. In terza si passa a numeri più grandi (le Indicazioni nazionali chiedono le operazioni in colonna entro la fine della terza) e dalla terza in poi arrivano anche i decimali.
Il risultato della sottrazione: quanto manca al numero più piccolo per arrivare al più grande. La differenza tra 9 e 6 è 3: si può togliere (9 − 6) oppure contare in avanti da 6 a 9.
Sì, mentre impara: le dita aiutano a vedere come sono fatti i numeri. Con il tempo l'obiettivo è che gli amici del 10 e i doppi vengano fuori a memoria, senza contare.
Esercitati con Indie
Beequation Kids trasforma i calcoli in rompicapi a favo, e l'ape Indie dà un aiutino quando serve. Senza pubblicità e senza raccolta di dati.