Beequation
Impara › Argomenti › Moltiplicazioni e divisioni
Guida all'argomento
Moltiplicazioni e divisioni
La moltiplicazione è un modo veloce per sommare gruppi uguali: 3 × 4 (si legge «tre per quattro») si può pensare come 3 gruppi da 4, cioè 4 + 4 + 4 = 12. La divisione è l'operazione inversa: divide una quantità in parti uguali. 12 : 3 = 4 si legge «dodici diviso tre fa quattro»: a scuola si usano i due punti, mentre il simbolo ÷ si vede quasi solo sulle calcolatrici. I bambini imparano le due operazioni insieme: prima distribuendo caramelle e contando a salti, poi con le tabelline e infine con le operazioni in colonna sul quaderno a quadretti.
Che cosa si impara, classe per classe
Le Indicazioni nazionali fissano gli obiettivi solo per la fine della terza e per la fine della quinta; come distribuirli anno per anno lo decidono la scuola e il libro di testo. Dal 2026/27 entrano in vigore le Nuove Indicazioni nazionali, a partire dalla classe prima, ma per moltiplicazioni e divisioni cambia poco. Ecco che cosa succede di solito:
| Classe | Che cosa si impara |
|---|---|
| Infanzia, 5 anni | Distribuire le cose in parti uguali (un biscotto a testa, due pastelli per ogni bambino) e fare gruppi con lo stesso numero di oggetti, giocando e nelle routine della sezione. Confrontare quantità: «tanti quanti», «di più», «di meno». |
| Classe prima | Numeri pari e dispari. In molte classi anche il doppio dei numeri piccoli (il doppio di 4 è 8) e i salti di 2, di 5 e di 10 sulla linea dei numeri. |
| Classe seconda | Di solito è la classe delle tabelline. Si parte dalla moltiplicazione come addizione ripetuta (3 × 4 = 4 + 4 + 4), con gli schieramenti e gli incroci, e si arriva alle tabelline dal 2 al 10 e alla tavola pitagorica. Doppio, triplo e metà. La divisione come ripartizione e come contenenza. |
| Classe terza | Le Indicazioni nazionali chiedono, entro la fine della terza, di conoscere con sicurezza le tabelline fino a 10 e di eseguire le operazioni «con gli algoritmi scritti usuali», cioè in colonna. Di solito si moltiplica per un numero di due cifre e si divide per un numero di una cifra, con i nomi dei termini (dividendo, divisore, quoziente, resto); si moltiplica e si divide per 10, 100 e 1000 e si studiano le proprietà delle operazioni. |
| Classe quarta | Divisioni con il divisore di due cifre. Moltiplicazioni e divisioni con i numeri decimali, e per 10, 100 e 1000 spostando la virgola. Problemi con due o più operazioni. |
| Classe quinta | Entro la fine della quinta, le quattro operazioni «con sicurezza», scegliendo tra calcolo mentale, calcolo scritto e calcolatrice, la divisione con resto, i multipli e i divisori. In molti libri anche i numeri primi, i criteri di divisibilità, le potenze e le espressioni con le parentesi. |
Le idee chiave
1. Moltiplicare è sommare gruppi uguali, e l'ordine non conta
Lo schieramento, cioè le cose disposte in righe e colonne, è il disegno più utile di tutto l'argomento. Se giri di lato lo schieramento qui sopra, 3 righe da 4 diventano 4 righe da 3, e i pallini restano 12. Quindi 3 × 4 = 4 × 3: è la proprietà commutativa, e vuol dire che ogni moltiplicazione che tuo figlio o tua figlia impara ne regala un'altra. Per questo non preoccuparti se il libro di scuola presenta 3 × 4 come «3 ripetuto 4 volte» e tu lo pensi come «3 gruppi da 4»: il risultato è lo stesso. I numeri che si moltiplicano sono i fattori (alcuni libri li chiamano moltiplicando e moltiplicatore) e il risultato è il prodotto.
In seconda arrivano anche gli incroci. Con 3 magliette e 2 pantaloncini, quanti abbinamenti diversi si possono fare? In una tabella a doppia entrata le magliette stanno nelle righe e i pantaloncini nelle colonne: le caselle sono 3 × 2 = 6.
2. Dividere: ripartizione e contenenza
I libri di scuola distinguono due tipi di divisione. Nella ripartizione si distribuisce: 12 caramelle tra 3 bambini, 4 caramelle ciascuno. Nella contenenza si fanno gruppi: 12 caramelle, 3 in ogni sacchetto, si riempiono 4 sacchetti. In tutti e due i casi il risultato è 4. Siccome la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione, il modo più rapido per fare 56 : 8 è chiedersi «8 per quanto fa 56?». La risposta è 7. In classe si dice anche «l'8 nel 56 ci sta 7 volte».
3. Le tabelline e la tavola pitagorica
In Italia le tabelline vanno dall'1 al 10. Di solito si imparano in seconda e si consolidano in terza. Ripeterle in ordine («tre per uno, tre; tre per due, sei…») aiuta, ma bisogna saperle anche in ordine sparso, come capita nei problemi. Tutte insieme formano la tavola pitagorica: si cerca il primo fattore nella prima colonna, il secondo nella prima riga, e dove si incrociano c'è il prodotto. La nostra guida per esercitarsi con le tabelline ha tante idee per ripassarle a casa.
Da memorizzare c'è meno di quanto sembri. La tavola è simmetrica rispetto alla diagonale (1, 4, 9, 16…), perché 3 × 4 e 4 × 3 sono la stessa cosa. Se togli la tabellina dell'1 e quella del 10, che si imparano subito, e conti una volta sola le coppie come 3 × 4 e 4 × 3, restano 36 moltiplicazioni. E molte tabelline nascono da altre. Quella del 4 è il doppio di quella del 2, e quella dell'8 è il doppio di quella del 4: 8 × 7 è il doppio di 4 × 7, cioè il doppio di 28, 56. Quella del 5 è la metà di quella del 10: 7 × 5 è la metà di 70, cioè 35. Poi 9 × 7 è 10 × 7 meno un 7: 70 − 7 = 63. E nella tabellina del 9 le cifre di ogni risultato, sommate, fanno 9: 18, 27, 36, 45…
Cinque minuti di tabelline al giorno valgono più di un'ora la domenica. Scegli le due o tre moltiplicazioni che tuo figlio fatica di più a ricordare, per esempio 7 × 8 = 56 e 6 × 8 = 48, e tornaci spesso: in macchina, nella vasca da bagno, sulla strada per la scuola. Se a ogni moltiplicazione aggiunge anche la divisione che le corrisponde (56 : 8 = 7), ogni tabellina vale il doppio.
4. La moltiplicazione in colonna
Con i numeri grandi i fattori si mettono in colonna, unità sotto unità, una cifra per quadretto, e si comincia da destra. Per 234 × 3 si dice: «3 per 4, 12: scrivo 2 e riporto 1. 3 per 3, 9, più 1 di riporto, 10: scrivo 0 e riporto 1. 3 per 2, 6, più 1, 7». Risultato: 702.
Se il moltiplicatore ha due cifre si fanno due moltiplicazioni e poi si sommano i risultati. Per 234 × 23 si calcola prima 234 × 3 = 702. Poi si moltiplica per il 2, che però vale 2 decine: per questo nella colonna delle unità si lascia un posto (con un trattino o uno zero, a seconda della maestra) e il 468 si scrive spostato di un posto verso sinistra. In realtà è 234 × 20 = 4680. Infine 702 + 4680 = 5382. È la proprietà distributiva al lavoro: 234 × 23 = 234 × 20 + 234 × 3.
In terza si impara anche a moltiplicare e dividere per 10, 100 e 1000: 34 × 100 = 3400 e 3400 : 10 = 340, perché ogni cifra si sposta di uno, due o tre posti.
5. La divisione in colonna, e la sua prova
In Italia la divisione si scrive così: il dividendo a sinistra, poi una linea verticale, il divisore a destra con una linea orizzontale sotto, e il quoziente sotto il divisore. Per 857 : 4 si dice: «Il 4 nell'8 ci sta 2 volte: 2 per 4, 8; 8 meno 8, 0. Abbasso il 5: il 4 nel 5 ci sta 1 volta; 1 per 4, 4; 5 meno 4, 1. Abbasso il 7: il 4 nel 17 ci sta 4 volte; 4 per 4, 16; 17 meno 16, 1».
Il quoziente è 214 e il resto è 1. Più avanti molti bambini imparano a fare le sottrazioni a mente e a scrivere solo i resti, in una forma più corta (sotto l'857 restano soltanto 05, 17 e il resto 1); quando succede dipende dalla classe. Per controllare il risultato si fa la prova: quoziente × divisore + resto = dividendo. Qui 214 × 4 + 1 = 856 + 1 = 857, quindi la divisione è giusta. Se il resto è 0 la divisione è esatta (12 : 3 = 4), altrimenti è con resto.
In quarta arriva il divisore di due cifre. Per 435 : 12 si parte da 43: il 12 nel 43 ci sta 3 volte (3 × 12 = 36) e resta 7. Si abbassa il 5 e si ottiene 75: il 12 nel 75 ci sta 6 volte (6 × 12 = 72) e resta 3. Quindi 435 : 12 = 36 con resto 3. Spesso la cifra del quoziente va «provata»: se viene troppo grande si scende di uno e si riprova. A volte aiuta la proprietà invariantiva: se dividi dividendo e divisore per lo stesso numero, il quoziente non cambia, quindi 120 : 20 diventa 12 : 2, che fa 6.
Nei problemi bisogna chiedersi che cosa significa il resto. Se 30 bambini vanno in gita con pulmini da 8 posti, 30 : 8 = 3 con resto 6: servono 4 pulmini, non 3. Se in cartoleria un quaderno costa 3 € e hai 10 €, ne compri 3, e l'euro che avanza non basta per un altro. In quarta e in quinta si impara di solito anche a continuare la divisione dopo la virgola: 30 : 8 = 3,75.
6. Multipli, divisori e numeri primi
Entro la fine della quinta le Indicazioni chiedono di saper riconoscere multipli e divisori. I multipli di un numero sono la sua tabellina, che continua all'infinito: i multipli di 6 sono 6, 12, 18, 24… I divisori di un numero lo dividono senza resto: quelli di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6 e 12, e vanno a coppie (1 × 12, 2 × 6 e 3 × 4). Un numero primo ha esattamente due divisori, l'1 e se stesso; i numeri primi fino a 20 sono 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19. Gli altri sono composti, tranne l'1, che non è né primo né composto.
I criteri di divisibilità fanno risparmiare calcoli. Un numero è divisibile per 2 se finisce con 0, 2, 4, 6 o 8; per 5 se finisce con 0 o con 5; per 10 se finisce con 0; per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3 (in 471, 4 + 7 + 1 = 12, e infatti 471 : 3 = 157). Le Nuove Indicazioni nominano anche il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo, che oggi di solito si affrontano alle medie.
Errori frequenti
- «Aggiungere uno zero» per moltiplicare per 10: funziona con 25 × 10 = 250, ma non con 2,5 × 10, che fa 25 e non 2,50. In realtà ogni cifra si sposta di un posto verso sinistra; con i numeri decimali, in classe si dice che la virgola si sposta di un posto verso destra.
- Non lasciare il posto nella seconda riga: se il 468 di 234 × 23 si scrive proprio sotto il 702, senza trattino né zero, la somma dà 1170 invece di 5382.
- Dimenticare lo zero nel quoziente: in 824 : 4, quando si abbassa il 2, il 4 nel 2 ci sta 0 volte, e quello 0 va scritto. Il risultato è 206, non 26. La prova scopre l'errore: 26 × 4 = 104, che non è 824.
- Un resto troppo grande: scrivere 30 : 8 = 2 con resto 14. Il resto deve essere sempre minore del divisore; se non lo è, il divisore ci sta ancora almeno una volta.
Giochi da cinque minuti da fare a casa
- Caccia agli schieramenti. Cerca con tuo figlio righe e colonne in casa: il portauova ha 2 file da 6, quindi 2 × 6 = 12. Vanno bene anche una tavoletta di cioccolato, una teglia di biscotti o le piastrelle del bagno.
- La palla delle tabelline. Lancia la palla a tuo figlio: chi la prende dice il numero successivo contando di 3 in 3 (o con la tabellina del momento) e la rilancia. Poi si torna indietro.
- Parti uguali. Fagli dividere acini d'uva, pasta corta o figurine tra i membri della famiglia. Avanza qualcosa? Quello è il resto.
- Di che tabellina sono? Di' un numero: tuo figlio cerca tutte le moltiplicazioni delle tabelline che danno quel risultato. Con il 24 escono 3 × 8 e 4 × 6 (e al contrario, 8 × 3 e 6 × 4).
- Pesca e moltiplica. Prendi un mazzo di carte napoletane o piacentine: fante, cavallo e re valgono 8, 9 e 10. A turno, ognuno pesca due carte: chi dice per primo il prodotto giusto se le tiene.
La sfida di IndieL'ape Indie ha preparato 87 dolcetti al miele e li sistema in scatole da 6. Quante scatole riesce a riempire del tutto? E quante scatole le servono perché nessun dolcetto resti fuori? Mostra la risposta
87 : 6 = 14 con resto 3, perché 14 × 6 = 84 e 87 − 84 = 3. La prova: 14 × 6 + 3 = 87. Indie riempie quindi 14 scatole, e le avanzano 3 dolcetti. Per sistemarli tutti le servono 15 scatole, e l'ultima ne contiene solo 3.
Schede gratuite di moltiplicazioni e divisioni
Stampale per fare pratica a casa o in classe. Ogni scheda ha le soluzioni nella seconda pagina.
Le tabelline del 2, del 5 e del 10Classe seconda, Classe terza · Moltiplicazioni in ordine sparsoScarica il PDF
Le tabelline del 3, del 4 e dell'8Classe seconda, Classe terza · Moltiplicazioni in ordine sparsoScarica il PDF
Divisioni con le tabellineClasse terza, Classe quarta · Usa le tabelline per dividereScarica il PDF
Moltiplicazioni in colonnaClasse terza, Classe quarta · Numeri di tre cifre per una cifraScarica il PDFRisposte veloci
No. In Italia non esiste una prova nazionale sulle tabelline: è la maestra a verificare in classe se i bambini le sanno. All'inizio di maggio, in seconda e in quinta, ci sono le prove INVALSI, che guardano la matematica in generale e non contano per il giudizio; te le spieghiamo nella guida a verifiche, giudizi e prove INVALSI.
Fino a quella del 10: la tavola pitagorica ha 10 righe e 10 colonne. Di solito le tabelline si imparano in seconda e si consolidano in terza, perché le Indicazioni nazionali chiedono di saperle con sicurezza entro la fine della terza. Le tabelline dell'11 e del 12, alla primaria, di solito non si studiano.
È il modo di controllare una divisione: si moltiplica il quoziente per il divisore e si aggiunge il resto. Se si ottiene il dividendo, la divisione è giusta. Per esempio, 857 : 4 = 214 con resto 1, e 214 × 4 + 1 = 857.
È un vecchio metodo per controllare le moltiplicazioni usando la somma delle cifre, che molti nonni ricordano ancora. È una bella curiosità, ma non scopre tutti gli errori (per esempio due cifre scambiate nel risultato): per questo a scuola, di solito, si controlla rifacendo il calcolo o con l'operazione inversa.
Esercitati con Indie
Beequation Kids trasforma i calcoli in rompicapi a favo, e l'ape Indie dà un aiutino quando serve. Senza pubblicità e senza raccolta di dati.