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Guida alla classe

La matematica in classe quinta: che cosa impara tuo figlio (10–11 anni)

La classe quinta è l'ultimo anno della scuola primaria (le elementari). Nel 2026/27 la frequentano i ragazzi nati nel 2016, che compiono 10 anni nel corso del 2026 e 11 nel 2027, insieme agli eventuali anticipatari nati tra gennaio e aprile del 2017. È un anno di bilanci e di passaggi: all'inizio di maggio arrivano le prove INVALSI, a giugno la scuola rilascia la certificazione delle competenze e a settembre si comincia la prima media. Esami, però, non ce ne sono.

In matematica la quinta tira le fila di tutta la primaria. I numeri diventano grandissimi, con i milioni e i miliardi, e compaiono quelli negativi; frazioni, numeri decimali e percentuali si rivelano tre modi diversi di dire la stessa cosa; in geometria arrivano le formule per le aree. Per chi è in quinta quest'anno valgono ancora le Indicazioni nazionali del 2012: le Nuove Indicazioni, in vigore dal 2026/27 a partire dalla classe prima, arriveranno in quinta solo nel 2030/31.

Su che cosa lavorano i ragazzi in quinta

Il lavoro più grande dell'anno è mettere insieme quello che si è imparato. Il 25%, un quarto e 0,25 sono lo stesso numero scritto in tre modi: uno sconto del 25% su un paio di scarpe toglie un quarto del prezzo. In quinta si impara a passare con disinvoltura da una scrittura all'altra. Le quattro operazioni ormai si conoscono tutte; adesso si chiede di eseguirle «con sicurezza», anche con i numeri decimali, e di scegliere ogni volta la strada più adatta: a mente, in colonna o con la calcolatrice.

Due cose colpiscono molti genitori. La prima sono le espressioni, i lunghi calcoli con le parentesi tonde, quadre e graffe che riempiono pagine intere del quaderno a quadretti: sono un argomento classico della quinta. La seconda è lo spazio che prendono i problemi: con più passaggi, con i dati da cercare in una tabella o in un grafico, e con la richiesta di spiegare il ragionamento. Le Indicazioni nazionali vogliono che alla fine della primaria un ragazzo sappia risolvere «facili problemi in tutti gli ambiti di contenuto» e descrivere il procedimento seguito, e le prove INVALSI vanno nella stessa direzione.

Che cosa dicono le Indicazioni nazionali

Le Indicazioni nazionali del 2012, quelle che valgono per chi è in quinta quest'anno, non danno un programma anno per anno: fissano gli obiettivi da raggiungere entro la fine della terza ed entro la fine della quinta. Quest'anno, quindi, è il traguardo. Tra le altre cose chiedono di:

• «eseguire le quattro operazioni con sicurezza, valutando l'opportunità di ricorrere al calcolo mentale, scritto o con la calcolatrice», fare la divisione con resto e trovare multipli e divisori;
• «operare con le frazioni e riconoscere frazioni equivalenti» e «utilizzare numeri decimali, frazioni e percentuali per descrivere situazioni quotidiane»;
• «interpretare i numeri interi negativi in contesti concreti» e conoscere sistemi di numerazione usati in luoghi, tempi e culture diversi dai nostri;
• usare il piano cartesiano, riconoscere figure ruotate, traslate e riflesse, riprodurre una figura in scala e calcolare il perimetro e l'area di rettangoli e triangoli;
• usare frequenza, moda e media aritmetica, passare da un'unità di misura a un'altra, «anche nel contesto del sistema monetario», e capire quale tra due eventi è il più probabile.

Come distribuire tutto questo tra quarta e quinta lo decide ogni scuola, e nella pratica conta molto il libro di testo. Quello che segue è ciò che si fa di solito in quinta; se il quaderno di tuo figlio o tua figlia segue un altro ordine, vale quello che fa la sua maestra. Ogni titolo porta alla guida completa dell'argomento.

Numeri e valore posizionale

• La classe dei milioni e quella dei miliardi. I numeri grandi si leggono a gruppi di tre cifre, le «classi»: 2.405.360 si legge «due milioni quattrocentocinquemilatrecentosessanta», e il 4 vale 4 centinaia di migliaia, cioè 400.000. Un miliardo è mille milioni: 1.000.000.000.
• Arrotondare e stimare: 2.405.360 arrotondato alle centinaia di migliaia è 2.400.000; arrotondato al milione, 2.000.000.
• In molti libri, le potenze: 5² = 5 × 5 = 25 («cinque alla seconda», o «al quadrato»), 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, e le potenze del 10, come 10³ = 1000 e 10⁶ = 1.000.000. Con le potenze del 10 un numero si può scrivere in forma polinomiale: 2.405.360 = 2 × 10⁶ + 4 × 10⁵ + 5 × 10³ + 3 × 10² + 6 × 10.
• I numeri relativi, cioè con il segno, come le temperature sotto lo zero o i piani interrati di un garage (−1, −2). Una mattina d'inverno ad Aosta il termometro segna −3 °C e nel pomeriggio 5 °C: la temperatura è salita di 8 gradi.
• I numeri romani (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000), che si incontrano sui monumenti, sulle lapidi e nei secoli: viviamo nel XXI secolo, e il 2026 si scrive MMXXVI. E, per curiosità, altri sistemi di numerazione: gli antichi Egizi avevano un simbolo per l'1, uno per il 10, uno per il 100… e li ripetevano quante volte serviva; i Maya contavano per venti.

Addizioni e sottrazioni

• Addizioni e sottrazioni in colonna con i numeri grandi e con i decimali, mettendo la virgola sotto la virgola: 125,8 + 47,35 = 173,15. Per non sbagliare, molti ragazzi scrivono 125,80: lo zero in fondo non cambia il valore.
• Le sottrazioni con gli zeri nel minuendo, dove si sbaglia più spesso: 300 − 87,45 = 212,55. Si scrive 300,00 e si fanno i cambi colonna dopo colonna.
• Stimare prima di calcolare: 125,8 + 47,35 fa circa 126 + 47 = 173. E fare la prova: 212,55 + 87,45 deve dare 300.

Moltiplicazioni e divisioni

• Le moltiplicazioni in colonna con due o tre cifre al moltiplicatore: 1342 × 23 = 30.866. Prima 1342 × 3 = 4026, poi 1342 × 2 decine = 26.840, lasciando un posto (con un trattino o uno zero), e infine si addizionano i due risultati.
• Le moltiplicazioni con i decimali: si moltiplica come se la virgola non ci fosse e poi la si rimette, contando le cifre decimali dei fattori. Per esempio, 2,4 × 1,5 = 3,6, perché 24 × 15 = 360 e le cifre decimali in tutto sono due: 3,60.
• Le divisioni con il divisore di due cifre, provando e correggendo ogni cifra del quoziente: 864 : 24 = 36. E con resto: 437 : 15 = 29 con resto 2. La prova: 29 × 15 + 2 = 435 + 2 = 437.
• Moltiplicare e dividere per 10, 100 e 1000 spostando la virgola: 3,75 × 100 = 375; 48 : 1000 = 0,048.
• I multipli e i divisori: i multipli di 6 sono 6, 12, 18, 24…; i divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6 e 12. I numeri primi hanno soltanto due divisori, 1 e sé stessi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… (1 non è primo).
• I criteri di divisibilità: un numero è divisibile per 2 se finisce con una cifra pari, per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3, per 5 se finisce con 0 o con 5, per 10 se finisce con 0. Così 1356 è divisibile per 2 e per 3 (1 + 3 + 5 + 6 = 15), ma non per 5 né per 10.

Espressioni, regolarità e proporzionalità

Un'espressione è una catena di operazioni da eseguire in un ordine preciso. Le regole sono due: prima le parentesi, dalle tonde alle quadre alle graffe; dentro ogni parentesi, prima moltiplicazioni e divisioni, poi addizioni e sottrazioni, da sinistra a destra. Per questo 3 + 4 × 2 fa 11 e non 14. Sul quaderno si risolve un passaggio per riga, così:

{[(8 + 4) × 3 − 6] : 5} + 2 =
= {[12 × 3 − 6] : 5} + 2 =
= {[36 − 6] : 5} + 2 =
= {30 : 5} + 2 =
= 6 + 2 = 8

• Le regolarità nelle sequenze di numeri e di figure: in 3, 7, 11, 15… si aggiunge sempre 4, quindi il prossimo numero è 19; in 2, 6, 18, 54… si moltiplica per 3, e dopo viene 162.
• Il ragionamento proporzionale, a partire dal costo unitario: se 4 quaderni costano 6 €, uno costa 6 : 4 = 1,50 €, e 7 quaderni costano 1,50 × 7 = 10,50 €.

Frazioni

• Le frazioni equivalenti, che indicano la stessa parte dell'intero: se si moltiplicano o si dividono numeratore e denominatore per lo stesso numero, la frazione non cambia valore. ⅔ = ⁴⁄₆ = ⁸⁄₁₂, e ⁶⁄₉ = ⅔.
• Confrontare e ordinare le frazioni: con lo stesso denominatore è più grande quella con il numeratore maggiore (⅝ > ⅜); con lo stesso numeratore, quella con il denominatore minore (⅓ > ⅕, perché la torta è divisa in meno fette, e quindi più grandi).
• Addizionare e sottrarre frazioni con lo stesso denominatore: ⅜ + ⁴⁄₈ = ⅞; 1 − ⅖ = ⅗.
• La frazione di un numero e il problema inverso, «risalire all'intero»: ¾ di 160 = 160 : 4 × 3 = 120; se i ⅖ di una somma sono 18 €, la somma intera è 18 : 2 × 5 = 45 €.
• Le frazioni decimali e i numeri decimali: ⁷⁄₁₀ = 0,7; ⁴⁷⁄₁₀₀ = 0,47; ³⁄₁₀₀₀ = 0,003.

Numeri decimali e percentuali

• I numeri decimali fino ai millesimi (u , d c m), da leggere, confrontare e mettere in ordine: 0,5 è più grande di 0,45, perché 0,5 = 0,50, cioè 50 centesimi.
• La percentuale come frazione con denominatore 100: 35% = ³⁵⁄₁₀₀ = 0,35. E le percentuali da sapere a memoria: 50% = ½, 25% = ¼, 75% = ¾, 20% = ⅕, 10% = ⅒.
• Calcolare una percentuale e uno sconto: uno zaino da 40 € è scontato del 15%. Il 10% di 40 € è 4 €, il 5% è la metà, 2 €: lo sconto è di 6 € e lo zaino costa 34 €.
• Le divisioni con il quoziente decimale, quando la divisione non è esatta: 9 : 4 = 2,25.

Le misure

• Le equivalenze con i numeri decimali, per lunghezze, masse e capacità: 3,75 km = 3750 m; 2,5 kg = 2500 g; 450 cl = 4,5 l. Sulla tabella delle misure ogni passo vale 10, e la virgola si sposta di un posto per ogni passo.
• Le misure di superficie (m², dm², cm²), dove ogni passo vale 100: 1 m² = 100 dm² = 10.000 cm². In molti libri anche il volume: un cubo con lo spigolo di 1 dm ha un volume di 1 dm³ e contiene esattamente 1 litro.
• Le misure di tempo, con il sistema sessagesimale: 150 minuti = 2 h 30 min = 2,5 h. Il treno parte alle 9:48 e arriva alle 12:15: il viaggio dura 2 h 27 min.
• Le equivalenze con l'euro (3,45 € = 345 centesimi) e i problemi di compravendita, con spesa, ricavo, guadagno e perdita.

Geometria e figure

• Il perimetro e l'area con le formule. Per il rettangolo, P = (b + h) × 2 e A = b × h: un rettangolo di 8 cm per 5 cm ha un perimetro di 26 cm e un'area di 40 cm². Per il triangolo, A = b × h : 2.
• L'area del quadrato, del parallelogramma, del rombo e del trapezio e, in molti libri, quella dei poligoni regolari con l'apotema. Una figura complicata si scompone in pezzi di cui si sa calcolare l'area, come la celletta di Indie divisa in triangoli.
• La circonferenza e il cerchio: il raggio, il diametro (il doppio del raggio) e il numero π, circa 3,14. Una circonferenza con il raggio di 5 cm ha un diametro di 10 cm ed è lunga 10 × 3,14 = 31,4 cm; in molti libri si calcola anche l'area del cerchio: 5 × 5 × 3,14 = 78,5 cm².
• Il piano cartesiano: ogni punto ha due coordinate, prima quella sull'asse orizzontale e poi quella sull'asse verticale. Il punto (3, 5) sta 3 quadretti a destra e 5 in su.
• Le isometrie, cioè i movimenti che non cambiano né la forma né le misure: traslazione, rotazione e simmetria. E le figure in scala: in una piantina in scala 1 : 100, 1 cm sul foglio corrisponde a 1 m nella realtà, quindi una camera disegnata di 4 cm per 3 cm misura 4 m per 3 m, cioè 12 m².
• Gli angoli misurati in gradi con il goniometro e, in molti libri, la somma degli angoli interni di un triangolo, che fa sempre 180°: se due angoli misurano 50° e 60°, il terzo misura 70°.
• I solidi visti dall'alto, di fronte e di lato.

Dati e grafici

• Un'indagine vera, dalla domanda al grafico: raccogliere i dati, contarli in una tabella di frequenza e rappresentarli con un istogramma o con un areogramma, il grafico circolare (o quadrato) in cui ogni settore è una percentuale del totale. Se il 25% della classe preferisce la pallavolo, il suo settore è un quarto del cerchio.
• La moda, la media aritmetica e, in molti libri, la mediana. Cinque compagni impiegano 5, 6, 6, 8 e 15 minuti per arrivare a scuola: la media è (5 + 6 + 6 + 8 + 15) : 5 = 40 : 5 = 8 minuti, la moda è 6 (il valore più frequente) e anche la mediana, il valore che sta nel mezzo, è 6. I 15 minuti di chi abita lontano alzano la media, ma non la mediana.
• La probabilità: in un sacchetto ci sono 3 palline rosse e 7 blu. Pescarne una blu è più probabile, perché i casi favorevoli sono 7 su 10, contro 3 su 10. Molti libri la esprimono già con una frazione, ⁷⁄₁₀, o con una percentuale, 70%.

Alla fine della quinta, la maggior parte dei ragazzi sa…

• leggere, scrivere e arrotondare numeri fino ai milioni e ai miliardi, e dire quanto vale ogni cifra
• usare i numeri negativi in situazioni concrete, come le temperature sotto zero
• eseguire le quattro operazioni in colonna, anche con i decimali, e decidere quando conviene il calcolo mentale o la calcolatrice
• fare una divisione con il divisore di due cifre e controllarla con la prova
• trovare multipli e divisori, riconoscere i numeri primi più piccoli e usare i criteri di divisibilità per 2, 3, 5 e 10
• risolvere un'espressione con le parentesi, rispettando l'ordine delle operazioni
• riconoscere frazioni equivalenti, calcolare la frazione di un numero e risalire all'intero
• passare da frazione a numero decimale e a percentuale, come ¾ = 0,75 = 75%, e calcolare uno sconto
• fare le equivalenze tra le unità di misura più comuni, anche con l'euro
• calcolare il perimetro e l'area di rettangoli e triangoli, e trovare i punti sul piano cartesiano
• calcolare la moda e la media di un gruppo di dati e leggere istogrammi e areogrammi
• risolvere un problema con più passaggi e spiegare come ha fatto

Le parole della quinta

Ti manca una parola? La trovi nel nostro glossario di matematica.

Le prove INVALSI e la fine della primaria

In quinta, all'inizio di maggio, tutti gli alunni d'Italia svolgono le prove INVALSI, nello stesso giorno e alla stessa ora, su carta. Le prove sono tre, in tre giorni diversi: inglese (lettura e ascolto: alla primaria la prova d'inglese c'è solo in quinta), italiano e matematica. Quella di matematica dura 75 minuti, più 10 minuti per un breve questionario; gli alunni con disabilità o con DSA possono avere 15 minuti in più. Le domande toccano numeri, spazio e figure, dati e previsioni, relazioni e funzioni, e molte chiedono di argomentare, cioè di spiegare perché una risposta è giusta o sbagliata.

Le prove INVALSI fotografano la scuola, non il singolo ragazzo: non c'è un punteggio minimo, non contano per il giudizio né per il passaggio alle medie, e la scuola riceve i risultati della classe. Per farti un'idea di come sono fatte, l'INVALSI pubblica online le prove degli anni passati: guardarne una insieme, senza cronometro, toglie un po' di mistero.

Per il resto la quinta funziona come gli altri anni: la maestra valuta il lavoro di tutti i giorni e le verifiche, e alla fine di ogni quadrimestre (o trimestre) arriva il documento di valutazione, con un giudizio sintetico per ogni materia, da ottimo a non sufficiente. A giugno, con l'ultima scheda, la scuola rilascia la certificazione delle competenze, un documento che descrive il livello raggiunto in diverse competenze, tra cui quella matematica. Non c'è nessun esame: il primo, l'esame di Stato, arriva alla fine della terza media. Trovi tutto nella guida a verifiche, giudizi e prove INVALSI.

Il passaggio alle medie

Più delle prove, quello che occupa i pensieri di molte famiglie in quinta è la scuola media. Per entrare non c'è nessuna prova: i genitori fanno l'iscrizione online, di solito a gennaio, scegliendo la scuola secondaria di primo grado del proprio istituto comprensivo oppure un'altra. Nei mesi prima molte scuole medie organizzano giornate di «scuola aperta», gli open day, per farsi conoscere da ragazzi e famiglie. Ecco che cosa cambia, soprattutto per la matematica:

• Un insegnante per matematica e scienze. Alle medie le due materie le insegna di norma lo stesso professore o la stessa professoressa, e al posto del team di maestre ci sono tanti insegnanti diversi, uno per materia o quasi.
• I voti in decimi. Al posto dei giudizi sintetici arrivano i voti in numeri, sulle verifiche e sulla pagella. All'inizio possono fare effetto: un 6 non è un brutto voto, è la sufficienza.
• Si riparte da quello che sanno già. In prima media si riprendono e si approfondiscono gli argomenti della quinta, come le potenze, i multipli e i divisori (con il MCD e il mcm) e le frazioni. Arrivare con le tabelline e le frazioni ben salde aiuta più di qualsiasi anticipo.
• Qualche segno nuovo. Per moltiplicare compare spesso il puntino al posto del segno ×: 3 · 4 = 12.
• Più autonomia. Scrivere i compiti sul diario e preparare lo zaino da soli, già in quinta, vale quanto una scheda di matematica.

D'estate bastano i compiti delle vacanze e un po' di calcolo mentale ogni tanto: anche riposarsi è un buon modo di cominciare. E se tuo figlio dice di «non essere portato» per la matematica, parlane con calma prima del salto: trovi qualche idea nella guida «Non sono portato per la matematica».

Come aiutare a casa

• Caccia alle percentuali. Saldi, volantini e cartellini con il «−30%» sono problemi veri: «Le scarpe costavano 50 €: con il 30% di sconto, quanto costano?» (Il 10% è 5 €, quindi il 30% è 15 €: costano 35 €.) Trovi altre idee nella guida all'euro e ai soldi.
• Lo scontrino e i 5 centesimi. In Italia, quando si paga tutto in contanti, il totale viene arrotondato ai 5 centesimi più vicini: 7,42 € diventa 7,40 € e 7,43 € diventa 7,45 €. Fai prevedere a tuo figlio quanto pagherai e quanto ti daranno di resto.
• Il prezzo al chilo. Conviene il pacco di pasta da 1 kg a 1,80 € o quello da 500 g a 1,10 €? (Quello da 500 g costa 2,20 € al chilo, quindi conviene il pacco da 1 kg.) È il costo unitario dei problemi di compravendita.
• Le dosi in cucina. La crostata per 6 persone vuole 300 g di farina: quanta ne serve per 8 persone? (300 : 6 = 50 g a testa, e 50 × 8 = 400 g.)
• In viaggio con le frazioni. In autostrada, i cartelli dicono quanti chilometri mancano: «Ne abbiamo fatti 120 e ne mancano 180. Quanto è lungo il viaggio? Che frazione ne resta?» (300 km in tutto; restano 180 su 300, cioè i ⅗.)
• Il meteo e i numeri negativi. D'inverno guarda con lui le temperature minime e massime: da −4 °C a 3 °C, di quanti gradi sale la temperatura? (Di 7.)
• Chiedi «Come hai fatto?». Spiegare il ragionamento a voce è il miglior allenamento per i problemi e per le domande INVALSI, e spesso aiuta a trovare da soli i propri errori.

Altre idee nella matematica di tutti i giorni e nella guida come aiutare tuo figlio in matematica a casa.

Schede gratuite per la classe quinta

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Arrotondare i numeriClasse quarta, Classe quinta · Alle decine, alle centinaia e alle migliaiaScarica il PDF

Frazioni equivalentiClasse quarta, Classe quinta · Trova il numero che mancaScarica il PDF

Decimi e centesimiClasse quarta, Classe quinta · Dalle frazioni decimali ai numeri decimaliScarica il PDF

La percentuale di un numeroClasse quinta · 10%, 25%, 50% e altre percentualiScarica il PDF

Perimetro e areaClasse quarta, Classe quinta · Rettangoli sulla carta a quadrettiScarica il PDF

Il numero che mancaClasse terza, Classe quarta, Classe quinta · Trova il numero nel quadratinoScarica il PDF

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