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Per gli insegnanti

Ragionare e risolvere problemi

Nelle Indicazioni nazionali la risoluzione di problemi non è un capitolo a parte: attraversa tutti i nuclei: «Numeri», «Spazio e figure», «Relazioni, dati e previsioni». Tra i traguardi per la fine della primaria, il testo del 2012 dice che l'alunno «riesce a risolvere facili problemi in tutti gli ambiti di contenuto», descrive il procedimento seguito e riconosce strategie di soluzione diverse dalla propria; le Nuove Indicazioni (DM 221/2025, dalla classe prima nel 2026/27) insistono sullo stesso punto: risolvere problemi con strategie personali, da confrontare e discutere con i compagni. Ragionare vuol dire spiegare, giustificare, scoprire regolarità: «Come lo sai?». Risolvere un problema vuol dire usare quello che sai in una situazione che non hai mai visto.

Per allenare il ragionamento non serve una lezione speciale: nasce dalle domande che fai ogni giorno e dall'abitudine di spiegare ad alta voce. Le idee che seguono vanno bene per qualsiasi argomento e per qualsiasi classe.

Domande che fanno pensare

Tienine qualcuna a portata di mano, su un cartoncino o appesa in aula, e usale finché non diventano un'abitudine:

• Che cosa noti? Che cosa ti chiedi?
• In che cosa si somigliano? In che cosa sono diversi?
• Come lo sai? Me lo puoi dimostrare?
• C'è un altro modo? Qual è il più veloce?
• Che cosa succederebbe se…?
• Fammi un esempio. Adesso uno che non verrà in mente a nessun altro.
• È vero sempre, qualche volta o mai?
• Trova l'errore. Il risultato ha senso?

Convincimi!

Dai agli alunni un fatto che conoscono già e chiedi di convincerti (o di convincere un compagno che fa lo scettico) che è vero. «Perché lo so» non vale: servono delle ragioni.

• Prima e seconda: convincimi che 7 + 8 = 15. Il doppio di 7 è 14, e 8 è uno in più di 7, quindi il risultato è uno in più di 14.
• Terza: convincimi che 6 × 7 = 42. 5 × 7 = 35, e con un altro 7 si arriva a 42.
• Quarta: convincimi che ⅗ è più di ½. La metà di 5 quinti è 2 quinti e mezzo, e 3 quinti sono di più.

Anche un disegno, i regoli, l'abaco o la linea dei numeri valgono come prova. Spesso le spiegazioni migliori sono proprio i disegni.

Vero o falso?

Scrivi un'affermazione alla lavagna: ognuno decide se è vera o falsa e spiega perché. Alterna affermazioni vere e false, così la risposta non diventa mai scontata.

Trova l'errore

Mostra un esercizio svolto con un errore e chiedi di trovarlo, spiegarlo e correggerlo. Mette meno ansia che correggere i propri sbagli, e ti permette di anticipare gli errori che sai che arriveranno.

• Seconda e terza: 52 − 27 = 35. Nelle unità ha fatto 7 − 2 invece di 12 − 7. Con il cambio: 2 meno 7 non si può, cambio una decina in 10 unità, 12 − 7 = 5 e 4 − 2 = 2. Il risultato è 25; la prova: 25 + 27 = 52.
• Terza e quarta: 234 × 23 = 1170. Il secondo prodotto parziale, 468, vale 468 decine e va spostato di un posto a sinistra (con un trattino o uno zero sotto le unità). Sommando 702 e 4680 si ottiene 5382.
• Quarta: 824 : 4 = 26. Abbassato il 2, il 4 nel 2 non ci sta: bisognava scrivere 0 nel quoziente prima di abbassare il 4. Il risultato è 206, e la prova lo conferma: 206 × 4 = 824, mentre 26 × 4 = 104.
• Quinta: 5 + 3 × 2 = 16. Ha eseguito le operazioni da sinistra a destra. Nelle espressioni si fanno prima le moltiplicazioni: 3 × 2 = 6, poi 5 + 6 = 11.
• Quinta: ¼ + ¼ = ²⁄₈. Un quarto più un quarto fa due quarti, ²⁄₄. Il denominatore non si somma: dice in quante parti è diviso l'intero.

Problemi aperti

I problemi con più risposte, o con una sola risposta ma tante strade per arrivarci, permettono a tutti di cominciare e a chi va più veloce di andare avanti.

• Qualsiasi classe: il risultato è 12. Quale può essere la domanda? In prima qualcuno dirà «10 più 2»; in quinta 3 × 4, 48 : 4 o il 25% di 48.
• Prima: lanci due dadi. In quanti modi puoi fare 6? 1 + 5, 2 + 4 e 3 + 3, oppure 5 modi se 5 + 1 e 4 + 2 contano come diversi. Discutere su quale sia la risposta giusta è già ragionare.
• Terza: ho pagato esattamente 21 € usando solo banconote da 5 € e monete da 2 €. Quante banconote e quante monete posso aver usato? Una banconota e otto monete, oppure tre banconote e tre monete. Le banconote devono essere in numero dispari, perché 21 è dispari e le monete da 2 € fanno sempre una somma pari.
• Quinta: un rettangolo ha il perimetro di 20 cm e i lati misurano un numero intero di centimetri. Quanto può essere la sua area? Base e altezza insieme fanno 10 cm, quindi l'area può essere 9, 16, 21, 24 o 25 cm². La più grande è quella del quadrato di lato 5 cm, e qui si apre un'altra bella discussione: il quadrato è un rettangolo?

Dati, domanda, operazione, risposta

Sul quaderno a quadretti i problemi si impostano di solito con lo stesso schema: dati, domanda, operazione (o soluzione) e risposta. Costringe a leggere con calma e a separare quello che si sa da quello che si chiede, prima di calcolare. Un esempio di terza:

Gioele ha 20 €. In cartoleria compra 3 quaderni da 2 € l'uno e un astuccio da 9 €. Quanti euro gli restano?

• Dati: ha 20 €; compra 3 quaderni; ogni quaderno costa 2 €; l'astuccio costa 9 €.
• Domanda: quanti euro gli restano?
• Operazioni: 3 × 2 = 6 € (i quaderni); 6 + 9 = 15 € (la spesa); 20 − 15 = 5 € (quello che resta).
• Risposta: a Gioele restano 5 €.

Qui c'è una domanda nascosta: per sapere quanto resta, prima bisogna chiedersi quanto spende in tutto. Il diagramma a blocchi la rende visibile: i dati in alto, ogni operazione in un blocco, e il risultato di un blocco che entra nel successivo.

Chiedi sempre la risposta completa: «A Gioele restano 5 €», non solo «5». Scriverla obbliga a tornare alla domanda. E aggiungi un ultimo passo, il controllo: quello che ha speso più quello che gli resta deve dare quello che aveva, 15 + 5 = 20.

Dalla terza in poi i libri propongono anche problemi con dati inutili e con dati mancanti. «La 4ª A ha 22 alunni; la gita costa 8 € a testa e il pullman parte alle 8:30. Quanto si spende in tutto?» (22 × 8 = 176 €; l'orario non serve). «Rosa compra 3 cornetti. Quanto spende?» (manca il prezzo: che cosa dobbiamo sapere? Con 1,40 € l'uno, 3 × 1,40 = 4,20 €.) Sono ottimi per discutere, perché non si risolvono pescando i numeri a caso.

Attenzione alle parole chiave. «Spendere» e «restare» fanno pensare a una sottrazione, ma «Dopo aver speso 5 €, a Matilde restano 3 €. Quanto aveva?» si risolve con un'addizione: 5 + 3 = 8 €. Più che cercare parole, conviene che gli alunni raccontino il problema con parole loro e lo disegnino.

E ogni tanto rovescia il compito: inventa tu il testo del problema. Scrivi alla lavagna 3 × 4 = 12, oppure «24 alunni, 4 per tavolo», e chiedi una storia e una domanda che ci stiano bene. Chi inventa un problema deve capire davvero che cosa fa ogni operazione.

Il modello a barre

Il modello a barre, che viene dal metodo Singapore e che alcune scuole usano, rappresenta il problema con dei rettangoli per vedere che cosa si sa e che cosa si cerca, prima di scegliere l'operazione. I più piccoli partono dallo schema parte-tutto: «Nella 2ª C ci sono 23 alunni e 14 restano in mensa. Quanti tornano a casa per pranzo?». Il tutto è 23, una parte è 14, quindi l'altra parte è 23 − 14 = 9.

Il modello a barre funziona bene anche con le frazioni, quando in quarta e in quinta si impara a risalire all'intero: «Ginevra spende ⅖ dei suoi risparmi e le restano 18 €. Quanto aveva all'inizio?». Si disegna una barra divisa in 5 parti uguali e se ne colorano 2 come spese. Le 3 parti che restano valgono 18 €, quindi una parte vale 18 : 3 = 6 € e l'intero 5 × 6 = 30 €. Controllo: ⅖ di 30 € sono 12 €, e 30 − 12 = 18 €.

Frasi per spiegare come hai pensato

Molti alunni conoscono la risposta ma non sanno dire perché. Qualche inizio di frase dà loro le parole: comincia tu a usarle, tienile in vista e chiedi frasi complete.

• So che…, quindi…
• Prima ho…, poi ho…, quindi la risposta è…
• Non può essere… perché…
• Sono d'accordo (o non sono d'accordo) con… perché…
• È vero sempre / qualche volta / mai, perché…
• Il mio risultato ha senso perché è vicino alla mia stima, che era…

Abbinale al lavoro a coppie: prima si spiega al compagno di banco, poi si risponde davanti a tutta la classe. È proprio il confronto tra strategie di cui parlano le Indicazioni.

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