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Relazioni e proporzionalità
Alla scuola primaria (le elementari) l'algebra non è una materia a sé: il calcolo con le lettere e le equazioni arrivano alle medie. Il modo di ragionare che serve all'algebra, però, si costruisce molto prima, e nelle Indicazioni nazionali sta nel nucleo «Relazioni, dati e previsioni»: scoprire la regola nascosta in un ritmo o in una sequenza, trovare il numero che manca in un'uguaglianza (7 + □ = 12), capire che certe regole valgono per tutti i numeri. La proporzionalità riguarda invece le grandezze che crescono o diminuiscono insieme, allo stesso ritmo: il prezzo quando compri più quaderni, una ricetta per più persone, una cartina in scala.
Nelle prove INVALSI di seconda e di quinta uno degli ambiti si chiama proprio «Relazioni e funzioni»: non basta saper fare il calcolo, bisogna anche saper spiegare la regola.
Che cosa si impara, classe per classe
Le Indicazioni nazionali danno obiettivi solo per la fine della terza e della quinta. Entro la fine della quinta chiedono di «riconoscere e descrivere regolarità in una sequenza di numeri o di figure» e di «riprodurre in scala una figura assegnata». Le Nuove Indicazioni, in vigore dal 2026/27 a partire dalla classe prima, aggiungono alla matematica l'informatica (algoritmi e semplici programmi) e, con l'educazione finanziaria, insistono sul «ragionare in modo proporzionale». Il resto lo distribuiscono la scuola e i libri di testo: la tabella mostra le scelte più comuni, ma la classe di tuo figlio o tua figlia può seguire un ordine un po' diverso.
| Classe | Che cosa si fa di solito |
|---|---|
| Infanzia, 5 anni | Copiare, continuare e inventare ritmi (rosso, blu, rosso, blu… oppure battito di mani, salto, battito di mani, salto). Raggruppare e ordinare gli oggetti secondo un criterio. Seguire un percorso con indicazioni a voce («tre passi avanti, poi gira a destra»). |
| Classe prima | Ritmi con colori, figure e numeri, e l'elemento che manca. I segni >, < e =. Il numero mancante con gli amici del 10: 7 + □ = 10. Contare a salti di 2, pari e dispari. Classificare con i diagrammi di Venn e di Carroll. I percorsi sul quaderno a quadretti. |
| Classe seconda | L'operatore e la macchina dei numeri (+3, −2, ×2). Le tabelle a doppia entrata e gli incroci. Sequenze a salti di 2, 3, 5 e 10, e le regolarità delle tabelline sulla tavola pitagorica. Il numero mancante usando il legame tra addizione e sottrazione: □ + 6 = 15. |
| Classe terza | Le Indicazioni chiedono di contare in avanti e all'indietro, anche «per salti di due, tre», e di classificare numeri e figure secondo una o più proprietà. Di solito arrivano l'operatore inverso, il numero mancante con le quattro operazioni (□ × 4 = 32), le proprietà delle operazioni e le istruzioni passo passo per descrivere un percorso. |
| Classe quarta | Sequenze con numeri più grandi e con i decimali (0,5; 1; 1,5; 2…). Catene di operatori, percorse anche all'indietro. Numeri mancanti in due passaggi: 3 × □ + 2 = 20. Il costo unitario e il costo totale nei problemi di compravendita: il primo ragionamento proporzionale. |
| Classe quinta | Regolarità in sequenze di numeri e di figure, descritte a parole. Le espressioni con le parentesi tonde, quadre e graffe. Le percentuali e lo sconto. La scala di riduzione: disegni in scala sul quaderno a quadretti, piantine e cartine. Le formule del perimetro e dell'area. Problemi da risolvere ragionando in modo proporzionale. |
Le idee chiave
1. Il segno uguale vuol dire «vale quanto»
Molti bambini leggono il segno = come «e il risultato è». Funziona con 3 + 5 = 8, ma si inceppa con 8 = 3 + 5 o con 6 + □ = 4 + 5. Pensa a una bilancia a due piatti: i due piatti devono restare in equilibrio. 4 + 5 fa 9, quindi anche 6 + □ deve fare 9, e il numero mancante è 3. Il suo contrario è il segno ≠, «diverso da»: 3 + 4 ≠ 8.
2. L'operatore e l'operatore inverso
In seconda e in terza i libri presentano la macchina dei numeri: entra un numero, l'operatore lo trasforma ed esce un altro numero. Con l'operatore +3, il 5 diventa 8. Per tornare indietro serve l'operatore inverso, che disfa quello che ha fatto il primo: −3 riporta l'8 a 5. Addizione e sottrazione sono operazioni inverse, e lo sono anche moltiplicazione e divisione: è la stessa idea della «prova» che i bambini scrivono accanto alle operazioni in colonna.
L'operatore inverso è la chiave di quasi tutti i problemi con il numero mancante. Per □ − 9 = 7 chiediti: «A quale numero tolgo 9 e mi resta 7?», e rimetti il 9 che è stato tolto: 7 + 9 = 16. Per □ × 4 = 32 si divide: 32 : 4 = 8. Poi si controlla mettendo il numero nel quadratino: 16 − 9 = 7 e 8 × 4 = 32.
3. Ritmi, sequenze e regolarità
All'infanzia e in prima si parla di ritmi: rosso, blu, rosso, blu; cerchio, quadrato, quadrato, cerchio, quadrato, quadrato. Poi arrivano le sequenze di numeri (alcuni libri dicono «successioni»), in cui ogni numero si ottiene dal precedente con la stessa regola. I più piccoli continuano la sequenza e contano a salti; i più grandi scoprono la regola, la spiegano a parole e prevedono i numeri che verranno più avanti. In quinta qualcuno fa un passo in più e cerca una regola che porti dritto a qualsiasi posto: in 3, 7, 11, 15, 19 ogni numero si ottiene moltiplicando per 4 la sua posizione e togliendo 1 (il primo: 4 × 1 − 1 = 3; il secondo: 4 × 2 − 1 = 7), quindi il decimo numero è 4 × 10 − 1 = 39.
4. Proprietà ed espressioni: le regole del calcolo
I libri italiani dedicano molto spazio alle proprietà delle operazioni, e c'è un buon motivo: sono il primo incontro con regole che valgono per tutti i numeri, che è proprio il cuore dell'algebra.
- Commutativa: cambiando l'ordine degli addendi o dei fattori il risultato non cambia: 3 + 8 = 8 + 3 e 4 × 7 = 7 × 4.
- Associativa: i numeri si possono raggruppare come conviene: 17 + 6 + 4 = 17 + (6 + 4) = 17 + 10 = 27.
- Dissociativa: un numero si può scomporre: 8 × 15 = 8 × 5 × 3 = 40 × 3 = 120.
- Distributiva: 7 × 12 = 7 × 10 + 7 × 2 = 70 + 14 = 84.
- Invariantiva: se aggiungi lo stesso numero a tutti e due i termini di una sottrazione, la differenza non cambia: 63 − 28 = 65 − 30 = 35. Nella divisione si moltiplicano o si dividono tutti e due i termini per lo stesso numero: 120 : 20 = 12 : 2 = 6.
Alle medie le stesse regole si scriveranno con le lettere, per esempio a + b = b + a. Alla primaria l'importante è saperle usare e spiegarle con i numeri.
In quinta arrivano le espressioni, catene di operazioni da risolvere in un ordine preciso: prima quello che c'è dentro le parentesi tonde, poi dentro le quadre, infine dentro le graffe. Dentro ogni parentesi, e quando le parentesi non ci sono, si eseguono prima moltiplicazioni e divisioni, poi addizioni e sottrazioni, da sinistra a destra. Le parentesi cambiano tutto: 3 × (8 − 2) + 10 : 5 = 3 × 6 + 10 : 5 = 18 + 2 = 20, mentre senza parentesi 3 × 8 − 2 + 10 : 5 = 24 − 2 + 2 = 24. In un'espressione più lunga, come {[(2 + 3) × 4 − 5] : 3} + 1, si parte dalle tonde (2 + 3 = 5), poi si passa alle quadre (5 × 4 − 5 = 15), poi alle graffe (15 : 3 = 5), e alla fine 5 + 1 = 6. Sul quaderno l'espressione si riscrive a ogni passaggio, una riga sotto l'altra.
Leggi il segno uguale ad alta voce come «vale quanto» e ogni tanto scrivi le operazioni «al contrario»: 10 = 4 + □. I bambini che vedono il risultato sempre a destra si bloccano la prima volta che cambia posto, e poi ci vuole parecchio tempo per perdere l'abitudine.
5. Algoritmi e coding: istruzioni passo passo
Le Nuove Indicazioni inseriscono nella matematica anche l'informatica, che molte scuole praticavano già con il coding. Un algoritmo è una serie di passi precisi, in ordine, che porta sempre al risultato (anche le operazioni in colonna lo sono). Per i bambini che quest'anno sono in prima, le Nuove Indicazioni chiedono, entro la terza, di descrivere attività di tutti i giorni «tramite sequenze di passi precisi e non ambigui» e di scrivere e controllare semplici programmi; entro la quinta, brevi programmi con ripetizioni e scelte («se… allora…»). Spesso si comincia senza computer: percorsi a frecce sul quaderno a quadretti, un compagno che fa il robot. «Ripeti 4 volte: avanti di 3 quadretti, gira a destra» disegna un quadrato. Anche questo è pensiero algebrico: trovare la regolarità, scriverla una volta sola e applicarla tante volte.
6. Ragionare in modo proporzionale
Due grandezze sono direttamente proporzionali quando, se una raddoppia, raddoppia anche l'altra; se una triplica, triplica anche l'altra, e così via. Se un quaderno costa 1,80 €, due costano 3,60 € e cinque costano 9 €. In quarta i bambini lo incontrano nei problemi di compravendita, con il costo unitario (quanto costa uno) e il costo totale.
Alla primaria si ragiona passando per l'unità (molti libri la chiamano «riduzione all'unità»): se 3 quaderni costano 5,40 €, uno costa 5,40 : 3 = 1,80 €, e 5 quaderni costano 1,80 × 5 = 9 €.
Fa parte del ragionamento anche riconoscere quando una situazione non è proporzionale. Una bambina che a 6 anni è alta 1,15 m non sarà alta 2,30 m a 12 anni. E con l'offerta «prendi 3, paghi 2» al supermercato, tre pacchi di biscotti non costano il triplo di uno, ma il doppio. Anche le percentuali sono proporzionalità: il 20% vuol dire 20 su 100 (20 centesimi per ogni euro), quindi il 20% di sconto su 15 € sono 3 € in meno.
7. Ingrandire e ridurre: ricette e scala
Per ingrandire o ridurre qualcosa senza deformarlo, tutto si moltiplica (o si divide) per lo stesso numero. Ecco la pasta al pomodoro per 4 persone trasformata in una per 6. Passando prima per 2 persone (si divide per 2 e poi si moltiplica per 3) si lavora sempre con numeri comodi:
| Ingrediente | Per 4 persone | Per 2 persone (: 2) | Per 6 persone (× 3) |
|---|---|---|---|
| Pasta | 320 g | 160 g | 480 g |
| Passata di pomodoro | 400 g | 200 g | 600 g |
| Olio extravergine d'oliva | 4 cucchiai | 2 cucchiai | 6 cucchiai |
| Parmigiano grattugiato | 60 g | 30 g | 90 g |
La scala funziona allo stesso modo. Le Indicazioni chiedono di «riprodurre in scala una figura assegnata», e in classe si fa sul quaderno a quadretti: per ingrandire al doppio un rettangolo di 2 quadretti per 5, si disegna un rettangolo di 4 quadretti per 10, perché tutti i lati si moltiplicano per 2 (per rimpicciolirlo, invece, si divide). Su piantine e cartine si usa la scala di riduzione, che si scrive 1 : 100 (si legge «uno a cento»): 1 cm sul disegno corrisponde a 100 cm, cioè 1 m, nella realtà, e così un'aula lunga 8 m sulla piantina misura 8 cm. Su una cartina in scala 1 : 50.000 ogni centimetro corrisponde a 50.000 cm, cioè 500 m, quindi 6 cm sulla cartina sono 3 km.
Errori frequenti
- Leggere l'uguale come «il risultato è»: in 4 + 5 = □ + 2, scrivere 9 nel quadratino invece di 7.
- Usare l'operazione sbagliata per tornare indietro: per □ − 9 = 7, calcolare 9 − 7 = 2 invece di 7 + 9 = 16.
- Risolvere le espressioni da sinistra a destra senza guardare le operazioni: in 20 − 3 × 4, fare 20 − 3 = 17 e poi 17 × 4 = 68, invece di 20 − 12 = 8.
- Aggiungere invece di moltiplicare: passare da una ricetta per 4 a una per 6 aggiungendo 2 di ogni ingrediente.
- Vedere proporzionalità dappertutto: se una maglietta stesa al sole si asciuga in 2 ore, tre magliette stese insieme non ci mettono 6 ore.
- Ricavare la regola di una sequenza dai primi due numeri: bisogna controllare che funzioni per tutta la sequenza.
Giochi da cinque minuti da fare a casa
- Pensa un numero. «Penso un numero, aggiungo 5 e ottengo 12. Che numero ho pensato?» Poi si scambiano i ruoli, ed è tuo figlio o tua figlia a inventare gli indovinelli.
- Indovina la regola. Tuo figlio dice un numero; tu, in segreto, lo moltiplichi per 2, aggiungi 1 e dici il risultato: il 3 diventa 7, il 5 diventa 11. Chi scopre per primo la regola?
- Il robot. Tuo figlio programma e tu fai il robot: deve portarti dalla porta al divano solo con comandi come «avanti 3 passi» o «gira a destra». Se il robot va a sbattere, il programma va corretto.
- La collana di pasta. Infila con tuo figlio dei maccheroni colorati seguendo un ritmo (1 rosso, 2 blu, 1 rosso, 2 blu), poi un ritmo che cresce: 1 rosso, 2 blu, 3 rossi… Che cosa viene dopo? (4 blu.)
- La torta allo yogurt. Si misura tutto con il vasetto dello yogurt: per ogni vasetto di olio, 2 di zucchero e 3 di farina. Per una torta grande il doppio, quanti vasetti di farina servono? (6.)
La sfida di IndieL'ape Indie costruisce una fila di celle del favo con i bastoncini dei ghiaccioli. Due celle vicine hanno un lato in comune. Per 1 cella servono 6 bastoncini, per 2 celle 11 e per 3 celle 16. Quanti bastoncini servono per una fila di 10 celle? Mostra la risposta
La prima cella ha bisogno di 6 bastoncini. Ogni cella nuova ha un lato in comune con la precedente, quindi ne servono solo 5 in più. Per 10 celle: 6 + 9 × 5 = 6 + 45 = 51 bastoncini. Come regola: bastoncini = numero delle celle × 5 + 1, e 10 × 5 + 1 = 51. Attenzione: non è una situazione proporzionale. Per 2 celle non serve il doppio dei bastoncini di 1 cella (sarebbero 12): ne bastano 11.
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Il numero che mancaClasse terza, Classe quarta, Classe quinta · Trova il numero nel quadratinoScarica il PDFRisposte veloci
Come materia, alle medie: è lì che arrivano il calcolo con le lettere e le equazioni. Il ragionamento, però, comincia molto prima: con i ritmi all'infanzia, con il numero mancante (7 + □ = 10) in prima, con gli operatori in seconda e in terza e con le espressioni in quinta.
Un'istruzione che trasforma un numero in un altro, come +3, −5 o ×2. Con l'operatore ×2 il 6 diventa 12; con l'operatore inverso, :2, il 12 torna 6. I libri lo disegnano spesso come una macchina o una freccia: entra un numero ed esce un altro.
Le proporzioni vere e proprie, scritte come 2 : 3 = 4 : 6, si studiano alle medie. Alla primaria si costruisce il ragionamento che c'è sotto: il costo unitario e il costo totale, le ricette per più persone, le percentuali e la scala di riduzione.
Che 1 cm sul disegno corrisponde a 200 cm, cioè 2 m, nella realtà. Una stanza lunga 5 m, cioè 500 cm, sulla piantina misura 500 : 200 = 2,5 cm.
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