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Guida all'argomento

Geometria e figure

La geometria è la parte della matematica che studia le forme, la loro grandezza e la loro posizione. Nelle Indicazioni nazionali si chiama «Spazio e figure» e alla scuola primaria (le elementari) va dai percorsi alle linee e agli angoli, dalle figure piane ai solidi, dal perimetro all'area, fino alle simmetrie e al piano cartesiano in quinta.

Che cosa si impara, classe per classe

Le Indicazioni nazionali fissano obiettivi per la fine della terza e della quinta, non anno per anno. Entro la terza si chiede di «riconoscere, denominare e descrivere figure geometriche»; entro la quinta, tra l'altro, di «riconoscere figure ruotate, traslate e riflesse» e di «utilizzare il piano cartesiano per localizzare punti». Le Nuove Indicazioni del 2025, in vigore dal 2026/27 a partire dalla classe prima, dicono cose molto simili. Il resto lo decidono la scuola e il libro di testo, quindi la tabella riporta il percorso più comune.

Le idee chiave

1. Orientarsi nello spazio: posizioni, confini e percorsi

La geometria comincia con il corpo. All'infanzia e in prima i bambini imparano a dire dove sono le cose: la palla è sotto il tavolo, Sofia è davanti a Leonardo. In prima arrivano tre parole tipiche della scuola italiana: una linea chiusa divide il foglio in una regione interna e una regione esterna, e la linea stessa è il confine. Più avanti il perimetro sarà la lunghezza del confine e l'area la grandezza della regione interna.

Poi ci sono i percorsi, in palestra e sul quaderno a quadretti: «2 quadretti a destra, 3 in su». Sono anche il primo coding: istruzioni precise che un compagno, o un robottino a forma di ape, può eseguire. Anche trovare le caselle di un reticolo con una lettera e un numero, come nella battaglia navale, prepara al piano cartesiano.

2. Linee, rette e angoli

All'inizio le linee si distinguono in curve, spezzate e miste, aperte o chiuse. In terza arrivano le parole precise: la retta è una linea dritta che non finisce mai, né da una parte né dall'altra; la semiretta parte da un punto, l'origine, e prosegue all'infinito da una parte sola; il segmento è il pezzo di retta tra due punti, e quindi si può misurare. Due rette sono parallele se non si incontrano mai, come i binari del treno, incidenti se si incontrano in un punto, perpendicolari se incontrandosi formano quattro angoli retti, come le righe orizzontali e verticali del quaderno a quadretti.

Un angolo è la parte di piano compresa tra due semirette che partono dallo stesso punto, il vertice. In classe lo si vede anche come una rotazione: un giro completo è l'angolo giro, mezzo giro l'angolo piatto, un quarto di giro l'angolo retto, come l'angolo di un foglio. Un angolo più piccolo del retto è acuto; uno più grande del retto ma più piccolo del piatto è ottuso.

Di solito in quarta gli angoli si misurano in gradi con il goniometro: l'angolo giro misura 360°, il piatto 180° e il retto 90°. Il centro del goniometro va sul vertice e la linea dello zero sopra un lato; poi si segue la scala che parte da 0 su quel lato fino all'altro lato. Il goniometro ha due scale, e leggere quella sbagliata è l'errore più comune: viene 130° per un angolo di 50°. Prima di misurare chiedi «È acuto o ottuso?», così tuo figlio o tua figlia sa già più o meno che numero aspettarsi.

In molti libri di quarta e quinta si scopre anche che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180° (se due misurano 50° e 70°, il terzo misura 180° − 120° = 60°) e quella degli angoli di un quadrilatero 360°.

3. I poligoni: triangoli, quadrilateri e gli altri

Un poligono è una parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa. I suoi elementi sono i lati, i vertici, gli angoli e, dal quadrilatero in su, le diagonali, che uniscono due vertici non consecutivi. Il nome dice quanti lati ha:

Un poligono è regolare se ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali: il cartello dello stop è un ottagono regolare, le celle di un favo sono esagoni quasi perfetti. A scuola, per i lati della stessa lunghezza, si dice spesso congruenti.

I triangoli si classificano in due modi. Secondo i lati: equilatero (tre lati uguali), isoscele (due lati uguali) e scaleno (tre lati diversi). Secondo gli angoli: rettangolo (con un angolo retto), acutangolo (con tre angoli acuti) e ottusangolo (con un angolo ottuso).

I quadrilateri si classificano guardando i lati paralleli:

• Trapezoidi: nessuna coppia di lati paralleli.
• Trapezi: una sola coppia di lati paralleli, che si chiamano basi. Un trapezio può essere rettangolo, isoscele o scaleno.
• Parallelogrammi: due coppie di lati paralleli. Tra questi ci sono il rettangolo (quattro angoli retti), il rombo (quattro lati uguali) e il quadrato, che ha quattro lati uguali e quattro angoli retti: è insieme un rettangolo e un rombo.

Il perimetro è la lunghezza del contorno: un rettangolo di 6 cm per 4 cm ha un perimetro di (6 + 4) × 2 = 20 cm. L'area è la misura della superficie: in quarta si contano i quadretti, poi si scopre che nel rettangolo si moltiplica la base per l'altezza, 6 × 4 = 24 cm². In quinta arrivano le formule degli altri poligoni, come base × altezza : 2 per il triangolo. Altri esempi sono nella guida alle misure.

4. Circonferenza e cerchio

A casa diciamo «cerchio» per tutto, ma a scuola le parole sono due. La circonferenza è la linea curva chiusa i cui punti sono tutti alla stessa distanza dal centro; il cerchio è la parte di piano racchiusa dalla circonferenza. La circonferenza è il bordo della pizza, il cerchio è la pizza intera. Il raggio va dal centro alla circonferenza; il diametro la attraversa passando per il centro ed è lungo il doppio del raggio.

In quinta di solito compare il numero π (pi greco), circa 3,14: la circonferenza è lunga poco più di tre volte il diametro. In classe si calcola così: circonferenza = diametro × 3,14. Con un raggio di 5 cm il diametro è 10 cm e la circonferenza misura 10 × 3,14 = 31,4 cm.

5. I solidi: facce, spigoli e vertici

I solidi occupano spazio. Quelli con sole facce piatte a forma di poligono, come cubi, prismi e piramidi, sono i poliedri. Le superfici piatte sono le facce, le linee dove si incontrano due facce sono gli spigoli e le punte sono i vertici.

Poi ci sono i solidi rotondi (o di rotazione), che hanno superfici curve. Il cilindro (un barattolo di pelati) ha due basi a forma di cerchio e una superficie curva; il cono (il cono del gelato) ha una base circolare, una superficie curva e un vertice; la sfera (un pallone, un'arancia) ha una sola superficie curva.

In quinta si guardano i solidi da punti di vista diversi (un cilindro visto dall'alto è un cerchio, di fronte un rettangolo) e in molti libri se ne costruisce lo sviluppo: quello del cubo è fatto di sei quadrati.

6. Simmetrie, traslazioni, rotazioni e piano cartesiano

Un asse di simmetria divide una figura in due metà che si specchiano: piegando lungo l'asse, combaciano perfettamente. Un poligono regolare ha tanti assi quanti lati, e il cerchio ne ha infiniti: va bene qualsiasi retta che passi per il centro.

La simmetria, che alcuni libri chiamano ribaltamento, è una delle tre isometrie, i movimenti che spostano una figura senza cambiarne forma e grandezza. La traslazione la fa scivolare senza girarla; la rotazione la fa girare intorno a un punto, di un quarto di giro (90°), di mezzo giro (180°) o di un giro intero (360°), in senso orario o antiorario. Con l'ingrandimento e la riduzione in scala, invece, la forma resta uguale ma la grandezza cambia.

In quinta si usa il piano cartesiano per localizzare i punti. Ogni punto ha due coordinate: il primo numero si conta sull'asse orizzontale (l'asse x), il secondo su quello verticale (l'asse y). Per trovare il punto (3, 5) si parte dallo zero, ci si sposta di 3 a destra e si sale di 5. Un trucco per non confondersi: «prima si percorre il corridoio, poi si salgono le scale».

Errori frequenti

• «Se lo giro, diventa un rombo»: un quadrato appoggiato su un vertice resta un quadrato, perché i suoi angoli sono ancora retti. Girare una figura non le cambia il nome: mostra le figure anche girate, non solo nel disegno «classico».
• Confondere circonferenza e cerchio: la circonferenza è la linea, il cerchio è la superficie che la linea racchiude.
• Prendere le diagonali del rettangolo per assi di simmetria: se pieghi un rettangolo di carta lungo la diagonale, le due metà non combaciano. Vale la pena provarci.
• Lati più lunghi, angolo più grande: l'ampiezza di un angolo dipende da quanto si aprono i lati, non da quanto sono lunghi.
• Confondere perimetro e area: il perimetro è una lunghezza e si misura in cm; l'area è una superficie e si misura in cm².
• Coordinate al contrario: salire prima di spostarsi in orizzontale. Prima l'asse orizzontale, poi quello verticale.

Giochi da cinque minuti da fare a casa

• Caccia ai solidi in cucina. Cerca con tuo figlio un cilindro, un parallelepipedo e una sfera: un barattolo, un brick di latte, un'arancia. Poi conta insieme a lui facce, spigoli e vertici di una scatola di biscotti (6, 12 e 8).
• La farfalla di colore. Fai cadere qualche goccia di tempera su una metà di un foglio, piegalo a metà e riaprilo. La piega è l'asse di simmetria.
• Il dettato grafico. Sul quaderno a quadretti, detta un percorso («3 quadretti a destra, 2 in su, 3 a sinistra, 2 in giù») e chiedi a tuo figlio quale figura è venuta fuori. (Un rettangolo di 3 quadretti per 2.)
• Battaglia navale con le coordinate. Ognuno disegna un piccolo piano cartesiano e nasconde qualche nave su alcuni punti. A turno si dicono le coordinate, come (4, 2), per trovare le navi dell'altro.

Schede gratuite di geometria

Stampale e usale a casa o in classe. Ogni scheda ha le soluzioni nella seconda pagina.

Le figure pianeClasse seconda, Classe terza · Nomi, lati e verticiScarica il PDF

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